Pindah Rata Rata Spektral Estimasi

Metode Estimasi Spektrum Daya Spektrum Perangkat Lunak Signal Processing Toolkit. Spektrum daya menggambarkan distribusi energi dari deret waktu dalam domain frekuensi Energi adalah kuantitas yang bernilai nyata, jadi spektrum daya tidak mengandung informasi fase Karena deret waktu mungkin berisi non-periodik. Atau asynchronous-sampel komponen sinyal periodik, spektrum daya dari deret waktu biasanya dianggap sebagai fungsi kontinyu frekuensi Bila Anda menggunakan serangkaian boks frekuensi diskrit untuk mewakili frekuensi kontinyu, nilai pada bin frekuensi tertentu sebanding dengan Interval frekuensi Untuk menghilangkan ketergantungan pada ukuran interval frekuensi, Anda dapat menormalkan spektrum daya untuk menghasilkan kepadatan spektral daya PSD, yang merupakan spektrum daya yang dibagi dengan ukuran interval frekuensi. PSD mengukur kekuatan sinyal per Unit bandwidth untuk seri waktu di V 2 Hz, yang secara implisit mengasumsikan bahwa PSD mewakili sinyal dalam volt yang menggerakkan 1 ohm load Jika PSD diwakili dalam desibel dB, unit yang sesuai untuk PSD adalah dB ref V sqrt Hz Jika Anda ingin menggunakan unit lain untuk estimasi PSD dalam deret waktu, Anda perlu mengukur skala waktu Seri ke unit rekayasa yang sesuai EU Setelah menskalakan unit deret waktu, Anda dapat memperoleh unit yang sesuai untuk nilai PSD linier dan nilai PSD dB sebagai EU 2 Hz dan dB ref EU sqrt Hz, masing-masing Gunakan Skala TSA ke UE VI Untuk mengukur unit untuk rangkaian waktu sesuai dengan metode EU. PSD yang sesuai diklasifikasikan sebagai berikut. Metode parametrik Metode ini didasarkan pada model parametrik dari deret waktu, seperti model AR, model MA rata-rata bergerak, dan ARMA rata-rata yang autoregresif. Model Oleh karena itu, metode parametrik juga dikenal sebagai metode berbasis model Untuk memperkirakan PSD suatu deret waktu dengan metode parametrik, Anda perlu mendapatkan parameter model dari deret waktu terlebih dahulu. Anda harus membuat model yang sesuai yang benar mencerminkannya. E perilaku sistem yang menghasilkan deret waktu sebaliknya, perkiraan PSD mungkin tidak dapat diandalkan. Klasifikasi sinyal ganda Metode MUSIK juga merupakan metode estimasi spektral berbasis model. Metode nasarparametrik Metode ini, yang mencakup metode metode periodogram metode Welch dan Capon Metode didasarkan pada transformasi Fourier diskrit Anda tidak perlu mendapatkan parameter dari deret waktu sebelum menggunakan metode ini. Keterbatasan utama metode nonparametrik adalah perhitungan menggunakan windowing data yang mengakibatkan distorsi PSD yang dihasilkan karena efek jendela. Manfaat utama dari metode nonparametrik adalah ketahanan yang diperkirakan PSD tidak mengandung puncak frekuensi palsu Sebaliknya, metode parametrik tidak menggunakan windowing data Metode parametrik mengasumsikan sinyal sesuai dengan model tertentu Perkiraan PSD mungkin mengandung puncak frekuensi palsu jika model yang diasumsikan salah PSD yang diperkirakan dengan metode parametrik kurang bias dan memiliki varia yang lebih rendah Daripada perkiraan PSD dengan metode nonparametrik jika model yang diasumsikan benar Namun, besaran PSD yang diperkirakan dengan metode parametrik biasanya tidak tepat. Perhatikan Selama analisis spektral, Anda dapat mengukur spektrum secara berurutan untuk mengurangi varians estimasi dan memperbaiki akurasi pengukuran Gunakan TSA Average PSD VI untuk memperkirakan perkiraan spektrum secara terus menerus.12 1 Memperkirakan Densitas Spektral. Kami telah membahas periodogram, grafik fungsi yang menampilkan informasi tentang komponen periodik dari deret waktu. Setiap deret waktu dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang kosinus dan sinus. Berosilasi pada frekuensi harmonik dasar jn dengan j 1, 2,, n 2 Periodogram memberikan informasi tentang kekuatan relatif berbagai frekuensi untuk menjelaskan variasi dalam deret waktu. Rentang periodogram adalah estimasi sampel dari fungsi populasi yang disebut spektral Kepadatan, yang merupakan karakterisasi domain frekuensi dari populasi stasioner t Ime series Kepadatan spektral adalah representasi domain frekuensi dari deret waktu yang berhubungan langsung dengan representasi domain waktu autocovariance Pada intinya kerapatan spektral dan fungsi autocovariance berisi informasi yang sama, namun ekspresikan dengan cara yang berbeda. Review Catatan Autocovariance adalah pembilang autokorelasi Autokorelasi adalah autocovariance dibagi dengan varians. Misalkan h adalah fungsi autocovariance dari proses stasioner dan f adalah kerapatan spektral untuk proses yang sama. Dalam notasi kalimat sebelumnya, H lag dan frekuensi. Autocovariance dan kerapatan spektral memiliki hubungan berikut. Dalam bahasa kalkulus tingkat lanjut, autocovariance dan kerapatan spektral adalah pasangan transformasi Fourier Kami tidak akan khawatir dengan kalkulus situasi Kami akan fokus pada perkiraan Kerapatan spektral karakterisasi domain frekuensi dari rangkaian Persamaan transformasi Fourier hanya diberikan di sini untuk menetapkan bahwa ada hubungan langsung antara representasi domain waktu dan representasi domain frekuensi dari suatu rangkaian. Secara fisik, kerapatan spektral didefinisikan untuk kedua negatif Dan frekuensi positif Namun, karena simetri fungsi dan sifatnya Pola ting untuk frekuensi di luar rentang -1 2 sampai 1 2, kita hanya perlu memperhatikan frekuensi antara 0 dan 1 2. Total kerapatan spektral total sama dengan varians rangkaian Jadi kerapatan spektral dalam interval frekuensi tertentu dapat Dilihat sebagai jumlah varians yang dijelaskan oleh frekuensi tersebut. Metode untuk Memperkirakan Densitas Spektral. Rentang periodogram mentah adalah perkiraan sampel kasar dari kerapatan spektral populasi Perkiraannya kasar, sebagian, karena kita hanya menggunakan frekuensi harmonik fundamental diskrit. Untuk periodogram sedangkan kerapatan spektral didefinisikan melalui suatu kontinum frekuensi. Satu kemungkinan perbaikan pada estimasi periodogram kerapatan spektral adalah untuk menghaluskannya dengan menggunakan rata-rata bergerak terpusat. Smoothing tambahan dapat dibuat dengan menggunakan metode lancip yang memiliki berat ujung pada waktu Seri kurang dari pusat data Kami tidak akan membahas lonjakan dalam pelajaran ini Pihak yang berminat dapat melihat Bagian 4 5 Dalam buku dan berbagai sumber Internet. Pendekatan alternatif untuk merapikan periodogram adalah pendekatan perkiraan parametrik berdasarkan fakta bahwa rangkaian waktu stasioner dapat didekati oleh model AR dari beberapa urutan meskipun mungkin urutan yang tinggi. Dalam pendekatan ini, Model AR yang sesuai ditemukan, dan kemudian kerapatan spektral diperkirakan sebagai kerapatan spektral untuk model AR yang diestimasi tersebut. Metode Perputaran Estimasi Nonparametrik dari Densitas spektral. Metode biasa untuk merapikan periodogram memiliki nama yang bagus yang rasanya sulit. , Itu hanya sebuah prosedur rata-rata bergerak terpusat dengan beberapa modifikasi yang mungkin. Untuk seri waktu, kernel Daniell dengan parameter m adalah rata-rata bergerak terpusat yang menciptakan nilai merapikan pada waktu t dengan merata-ratakan semua nilai antara waktu tm dan tm inklusif. , Rumus smoothing untuk kernel Daniell dengan m 2 adalah. Pada R, koefisien pembobotan untuk kernel Daniell dengan m 2 dapat dihasilkan dengan comm Dan kernel daniell, 2 Hasilnya adalah. Coef -2 0 2 coef -1 0 2 coef 0 0 2 coef 1 0 2 coef 2 0 2. Subskrip untuk coef mengacu pada perbedaan waktu dari pusat rata-rata pada waktu t Jadi rumus penghalusan dalam contoh ini adalah. Yang sama dengan rumus yang diberikan di atas. Kernel Daniell yang dimodifikasi sedemikian rupa sehingga kedua titik akhir dalam rata-rata menerima setengah berat yang dilakukan poin interior Untuk kernel Daniell yang dimodifikasi dengan m 2, Smoothing adalah. Pada R, perintah 2 akan mencantumkan koefisien pembobotan yang digunakan. Baik kernel Daniell atau kernel Daniell yang dimodifikasi dapat dibelit ulang sehingga smoothing diaplikasikan kembali ke nilai yang merapikan Ini menghasilkan perataan yang lebih luas dengan rata-rata Selama interval waktu yang lebih luas Misalnya, untuk mengulang kernel Daniell dengan m 2 pada nilai smoothed yang dihasilkan dari kernel Daniell dengan m 2, rumusnya adalah. Ini adalah rata-rata nilai yang merapikan dalam dua periode waktu t Di kedua arah , Perintah kernel daniell, c 2.2 akan memasok koefisien yang akan diterapkan sebagai bobot dalam rata-rata nilai data asli untuk kernel Daniell yang berbelit-belit dengan m 2 dalam kedua smoothings. Hasilnya adalah kernel daniell, c 2,2 coef -4 0 04 coef -3 0 08 coef -2 0 12 coef -1 0 16 coef 0 0 20 coef 1 0 16 coef 2 0 12 coef 3 0 08 coef 4 0 04. Ini menghasilkan formula smoothing. Metode yang dimodifikasi dimana titik akhir memiliki berat kurang juga dimungkinkan. Perintah ini memberi koefisien ini. coef -4 0 01563 coef -3 0 06250 coef -2 0 12500 coef -1 0 18750 coef 0 0 21875 coef 1 0 18750 coef 2 0 12500 coef 3 0 06250 coef 4 0 01563.Dengan demikian, nilai center tertimbang sedikit lebih berat daripada pada kernel Daniell yang tidak dimodifikasi. Bila kita melakukan smooth periodogram, kita merapikan interval frekuensi dan bukan interval waktu Ingatlah bahwa periodogram ditentukan. Pada frekuensi dasar jjn untuk j 1, 2,, n 2 Biarkan saya j menunjukkan nilai periodogram pada frekuensi Ency jjn Ketika kita menggunakan kernel Daniell dengan parameter m untuk melancarkan periodogram, nilai omda omraj yang merapikan adalah rata-rata tertimbang nilai periodogram untuk frekuensi di kisaran jm n sampai jm n. Ada nilai frekuensi dasar L 2 m 1 di Rentang jm n untuk jmn kisaran nilai yang digunakan untuk smoothing Bandwidth untuk periodogram yang dihaluskan didefinisikan sebagai. Bandwidth adalah ukuran lebar interval frekuensi yang digunakan untuk merapikan periodogram. Bila bobot yang tidak sama digunakan pada smoothing, Definisi bandwidth dimodifikasi Menunjukkan nilai periodogram yang merapikan pada jjn sebagai. Hatiku omegaj sum hk aku meninggalkan omegaj frac right. Hk adalah bobot yang mungkin tidak sama yang digunakan dalam smoothing Rumus bandwidth kemudian dimodifikasi. Sebenarnya, rumus ini bekerja dengan bobot yang sama pula. Bandwidth seharusnya cukup untuk memperlancar perkiraan kami, tapi Jika kita menggunakan bandwidth yang terlalu besar, kita akan memperlancar periodogram terlalu banyak dan merindukan melihat puncak penting. Dalam praktiknya, biasanya dibutuhkan eksperimen untuk menemukan bandwidth yang memberi penghalusan yang sesuai. Bandwidth didominasi oleh jumlah Nilai yang dirata-ratakan dalam perataan Dengan kata lain, parameter m untuk kernel Daniell dan apakah kernelnya berbelit-belit berulang mempengaruhi bandwidth. Catatan Bandwidth R melaporkan dengan plotnya tidak sesuai dengan nilai yang akan dihitung dengan menggunakan rumus di atas. Silakan lihat catatan kaki di halaman 197 dari teks Anda untuk penjelasan. Rata-rata perataan periodogram dengan kernel Daniell dapat dilakukan dengan menggunakan urutan dua comm Ands Yang pertama mendefinisikan sebuah kernel Daniell dan yang kedua menciptakan periodogram merapikan. Sebagai contoh, anggaplah bahwa seri yang diobservasi diberi nama x dan kami ingin memperlancar periodogram menggunakan kernel Daniell dengan m 4 Perintahnya adalah kernel daniell, 4 K, lancip 0, log no. Perintah pertama menciptakan koefisien pembobotan yang diperlukan untuk smoothing dan menyimpannya dalam vektor yang dinamai k Ini sewenang-wenang untuk memanggilnya k Ini bisa disebut sesuatu Perintah kedua meminta perkiraan kerapatan spektral berdasarkan Periodogram untuk seri x dengan menggunakan koefisien pembobotan yang tersimpan dalam k, tanpa lancip, dan plotnya akan berada pada skala biasa, bukan skala log. Jika konvolusi diinginkan, perintah kernel dapat dimodifikasi menjadi kernel seperti kernel Daniell, c 4,4. Ada dua cara yang mungkin untuk mencapai kernel Daniell yang dimodifikasi. Anda bisa mengubah perintah kernel untuk merujuk pada daripada daniell atau Anda dapat melewatkan menggunakan perintah kernel dan menggunakan parameter spans di command. The. S Parameter pans memberikan panjang 2 m 1 dari kernel Daniell yang dimodifikasi yang diinginkan Misalnya, kernel Daniell yang dimodifikasi dengan m 4 memiliki panjang L 2 m 1 9 sehingga kita dapat menggunakan perintah tersebut. Bentang 9, lancip 0, log no. Two melewati sebuah kernel Daniell yang dimodifikasi dengan m 4 pada setiap celah dapat dilakukan dengan menggunakan. Bentang c 9,9, lancip 0, log no. Contoh Contoh ini akan menggunakan rangkaian perekrutan ikan yang digunakan di beberapa tempat dalam teks, termasuk beberapa tempat di Bab 4 Seri ini terdiri dari n 453 nilai bulanan dari ukuran Populasi ikan di lokasi belahan bumi selatan Data berada dalam file. Rentang periodik dapat dibuat dengan menggunakan perintah atau bisa dibuat dengan menggunakan metode yang diberikan pada Pelajaran 6. lancip 0, log no. Perhatikan bahwa pada perintah hanya diberikan kita Telah menghilangkan parameter yang memberi bobot untuk smoothing. Rangkaian periodik mentah berikut. Plot berikutnya adalah peramalan yang diratakan dengan menggunakan kernel Daniell dengan m 4 Perhatikan bahwa satu efek dari perataan adalah bahwa puncak dominan pada versi unsmoothed sekarang adalah yang tertinggi kedua. Puncak Hal ini terjadi karena puncaknya sangat tajam didefinisikan dalam versi unsmoothed bahwa ketika kita rata-rata dengan beberapa nilai di sekitarnya, tinggi badan berkurang. Plot berikutnya adalah perataan yang merapikan dengan menggunakan dua lintasan dari sebuah kernel Daniell dengan m 4 pada ea Ch pass Perhatikan bagaimana itu bahkan lebih merapikan dari sebelumnya. Untuk mengetahui di mana dua puncak dominan berada, tetapkan sebuah nama ke output dan kemudian Anda bisa mencantumkannya. Misalnya, nilai investasi k, lancip 0, tidak memiliki nilai spesifikasi. Anda dapat menyaring Melalui output untuk menemukan frekuensi di mana puncak terjadi Frekuensi dan perkiraan kerapatan spektral dicantumkan secara terpisah, namun dengan urutan yang sama Identifikasi kerapatan spektral maksimum dan kemudian temukan frekuensi yang sesuai. Di sini, puncak pertama berada pada frekuensi 0229 Periode jumlah bulan yang terkait dengan siklus ini 1 0229 43 7 bulan atau sekitar 44 bulan Puncak kedua terjadi pada frekuensi 0 083333 Periode terkait 1 08333 12 bulan Puncak pertama dikaitkan dengan efek cuaca El Nino Yang kedua adalah yang biasa Efek musiman 12 bulan. Dua perintah ini akan menempatkan garis putus-putus vertikal ke plot kerapatan spektral yang diperkirakan di lokasi perkiraan kerapatan puncak. abline v 1 44, lty bertitik abline v 1 12, lty putus-putus Di sini ada plot yang dihasilkan. Kami sudah cukup merapikan, tapi untuk keperluan demonstrasi, plot selanjutnya adalah hasil. Bentang c 13,13, lancip 0, log no. Ini menggunakan dua lintasan dari kernel Daniell yang dimodifikasi dengan panjang L 13 jadi m 6 setiap kali Plotnya agak halus, tapi tidak banyak. Puncaknya, omong-omong, masuk Tempat yang persis sama seperti di plot segera di atas. Ini jelas mungkin untuk kelancaran terlalu banyak. Misalkan kita menggunakan kernel Daniell yang dimodifikasi dengan panjang total 73 m 36 Perintahnya adalah. Bentang 73, lancip 0, log no. Hasilnya mengikuti puncak yang hilang. Parametrik Estimasi kerapatan spektral. Metode pemulusan estimasi kerapatan spektral disebut metode nonparametrik karena tidak menggunakan model parametrik untuk proses deret waktu yang mendasarinya. Metode alternatif adalah metode parametrik yang memerlukan model AR yang paling sesuai untuk seri dan kemudian memplot kerapatan spektral dari model tersebut. Metode ini didukung oleh sebuah teorema yang mengatakan bahwa kerapatan spektral dari setiap proses deret waktu dapat didekati oleh Kerapatan spektral dari model AR dari beberapa urutan, mungkin yang tinggi. Pada R, estimasi parametrik kerapatan spektral mudah dilakukan dengan fungsi perintah Perintah seperti log tidak akan menyebabkan R melakukan semua pekerjaan Sekali lagi, untuk mengidentifikasi puncak Kita dapat menetapkan nama untuk hasil dengan melakukan sesuatu seperti log no. Untuk contoh perekrutan ikan, plot berikut adalah hasilnya Perhatikan bahwa kerapatan diplot adalah model AR 13 Kita pasti bisa menemukan model ARIMA yang lebih pelit untuk data ini Kami hanya menggunakan kerapatan spektral model itu untuk mendekati kerapatan spektral dari deret yang diamati. Tampilan perkiraan kerapatan spektral kira-kira sama dengan sebelumnya Puncak El Nino yang diperkirakan adalah Terletak di tempat yang sedikit berbeda frekuensinya sekitar 0 024 untuk siklus sekitar 1 024 sekitar 42 bulan. Seri harus de-trended sebelum analisis spektral Tren akan menyebabkan kerapatan spektral yang dominan pada frekuensi rendah yang lain. Puncak tidak akan terlihat Secara default, perintah R melakukan de-tren menggunakan model tren linier Yaitu, kerapatan spektral diperkirakan menggunakan residu dari regresi yang dilakukan dimana variabel y mengamati data dan variabel x t If Jenis tren yang berbeda hadir, misalnya kuadratik, maka regresi polinomial dapat digunakan untuk de-tren data sebelum perkiraan kerapatan spektral dieksplorasi Perhatikan, bagaimanapun, bahwa perintah R namun doe Tidak melakukan de-trending secara default. Aplikasi Smoothers ke Raw Data. Perhatikan bahwa smoothers yang dijelaskan di sini juga dapat diterapkan pada data mentah. Kernel Daniell dan modifikasinya hanya bergerak rata-rata atau rata-rata bergerak rata-rata. Metode Estimasi Spektrum Tinggi Spektrum daya Signal Processing Systems mensimulasikan distribusi energi dari rangkaian waktu dalam domain frekuensi Energi adalah kuantitas yang bernilai nyata, jadi spektrum daya tidak mengandung informasi fase Karena deret waktu mungkin berisi sampel non-periodik atau asynchronous Komponen sinyal periodik, spektrum daya dari rangkaian waktu biasanya dianggap sebagai fungsi kontinyu frekuensi Bila Anda menggunakan serangkaian boks frekuensi diskrit untuk mewakili frekuensi kontinyu, nilai pada bin frekuensi tertentu sebanding dengan interval frekuensi. Keluarkan ketergantungan pada ukuran interval frekuensi, Anda bisa menormalkan spektrum daya untuk menghasilkan daya spe Kerapatan ctral PSD, yang merupakan spektrum daya dibagi dengan ukuran interval frekuensi. PSD mengukur kekuatan sinyal per satuan bandwidth untuk rangkaian waktu di V 2 Hz, yang secara implisit mengasumsikan bahwa PSD mewakili sinyal dalam volt yang menggerakkan 1 Ohm load Jika PSD diwakili dalam desibel dB, unit yang sesuai untuk PSD adalah dB ref V sqrt Hz Jika Anda ingin menggunakan unit lain untuk estimasi PSD dari deret waktu, Anda perlu mengukur skala unit dari seri waktu Ke unit rekayasa yang sesuai EU Setelah menskalakan unit deret waktu, Anda dapat memperoleh unit yang sesuai untuk nilai PSD linier dan nilai PSD dB sebagai EU 2 Hz dan dB masing-masing dengan EU EU Hz, gunakan Skala TSA ke UE VI untuk Skala unit untuk rangkaian waktu sesuai dengan metode EU. PSD yang sesuai diklasifikasikan sebagai berikut. Metode parametrik Metode ini didasarkan pada model parametrik dari seri waktu, seperti model AR, model MA rata-rata bergerak, dan model ARMA rata-rata yang autoregresif. Ada Metode parametrik juga dikenal sebagai metode berbasis model. Untuk memperkirakan PSD suatu deret waktu dengan metode parametrik, Anda perlu mendapatkan parameter model dari deret waktu terlebih dahulu. Anda harus membuat model yang sesuai yang benar mencerminkan perilaku dari model. Sistem yang menghasilkan deret waktu jika tidak, perkiraan PSD mungkin tidak dapat diandalkan. Klasifikasi sinyal ganda Metode MUSIK juga merupakan metode estimasi spektral berbasis model. Metode nonparametrik Metode ini, yang mencakup metode periodogram metode Welch dan metode Capon didasarkan pada Transformasi Fourier yang diskrit Anda tidak perlu mendapatkan parameter dari deret waktu sebelum menggunakan metode ini. Keterbatasan utama metode nonparametrik adalah perhitungan menggunakan windowing data yang menghasilkan distorsi PSD yang dihasilkan karena efek jendela Manfaat utama nonparametrik Metode adalah ketahanan yang diperkirakan PSD tidak mengandung puncak frekuensi palsu Sebaliknya, metode parametrik S tidak menggunakan data windowing Metode parametrik mengasumsikan sebuah sinyal sesuai dengan model tertentu Perkiraan PSD mungkin mengandung puncak frekuensi palsu jika model yang diasumsikan salah PSD yang diperkirakan dengan metode parametrik kurang bias dan memiliki variansi yang lebih rendah daripada PSD yang diperkirakan dengan metode nonparametrik jika Model yang diasumsikan benar Namun, besaran PSD yang diperkirakan dengan metode parametrik biasanya tidak tepat. Perhatikan Selama analisis spektral, Anda dapat mengukur spektrum secara berurutan untuk mengurangi varians estimasi dan memperbaiki akurasi pengukuran Gunakan TSA Average PSD VI untuk memperkirakan spektrum rata-rata secara terus menerus.